Conexiones de resistores en serie y paralelo

En este artículo estudiaremos las propiedades de las conexiones de resistores en serie y en paralelo. Habiendo estudiado las leyes de Kirchhoff (LTK y LCK) también determinaremos como sumar resistores para simplificar aún mas el análisis de un circuito eléctrico. Primeramente es importante definir cada configuración y sus propiedades.

Conexión en serie: Dos o más resistores se encuentran en serie cuando están conectados dentro de la misma rama, uno tras otro. Debido a que la corriente eléctrica solo tiene un posible camino a través de la rama, la misma corriente eléctrica viaja a través de cada resistor dentro de la rama.

Conexión en paralelo: Dos o más resistores se encuentran en paralelo cuando se hallan en ramas distintas y todas estas ramas conectan a los mismos nodos. Debido a que las distintas ramas forman caminos cerrados una con otra y basados en la ley de tensiones de Kirchhoff, los resistores en cada rama individual estarán expuestos al mismo voltaje que las demás ramas. 

Para demostrar las propiedades anteriormente mencionadas es necesario, en primer lugar, demostrar y realizar el proceso de suma de resistores en serie y en paralelo.

Figura 1

Como podemos ver en la figura 1, tenemos una cantidad "n" (indeterminada) de resistores dentro de la misma rama, lo cual sería una conexión en serie. De acuerdo la ley de tensiones de Kirchhoff, la suma de las tensiones sobre cada resistor debe igualar al voltaje V suministrado por la fuente de voltaje. Utilizando la ley de Ohm tenemos que:

$$ V = IR $$

$$ V = R_1 I + R_2 I + R_3 I + ... R_n I $$

Sin embargo también recordemos que la corriente I que atraviesa cada resistor es la misma en cada caso. Factorizando y dividiendo ambos términos por la corriente I tenemos:

$$ \frac{V_t}{I_t}= R_1 + R_2 + R_3 + ... R_n = R_t $$

De modo que podemos concluir que la resistencia total causada por dos o más resistores en serie es la suma algebraica de todos los resistores. Es importante recordar que si un resistor (o la suma de todos los resistores) es infinita entonces tendríamos un circuito abierto.

Ahora veamos como obtener la resistencia total de un grupo de resistores en paralelo.

Figura 2

Para obtener la resistencia total para resistores conectados en paralelo es necesario utilizar la ley de corriente de Kirchhoff. Teniendo en cuenta que cada resistor debe estar expuesto al mismo voltaje debido a la ley de tensiones de Kirchhoff y de acuerdo a la LCK tenemos que:

$$ I_t = I_1 + I_2 + I_3 + ... I_n $$

$$\frac{V}{R_t} = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} + \frac{V}{R_3} + ... \frac{V}{R_n}$$

Si dividimos ambos miembros entre V e invirtiendo la fracción resultante tendríamos:

$$R_t = (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ... \frac{1}{R_n})^-1$$

De modo que se puede definir la resistencia total en paralelo como la suma fraccionaria inversa de todos los resistores. Cuando queremos expresar que dos resistores se hallan en paralelo se utiliza la  siguiente notación, que nos indica que el resistor R1 está en paralelo con R2:

$$ R_1 || R_2 $$

Es importante recordar que si tenemos los nodos del paralelo cortocircuitados no habría resistencia eléctrica.

Como podrán ver, a mayor número de resistores en paralelo, más laboriosa será la tarea de encontrar la resistencia total. Sin embargo, una propiedad importante de los resistores en paralelo es que, sin importar el caso, la resistencia total siempre será menor que la menor de las resistencias dentro de una rama. Por ejemplo, si en el ejemplo de la figura 2 hubiese en una rama una resistencia menor a 1 Ohm, podemos garantizar con total seguridad que la resistencia total será menor que 1 Ohm. Esto puede parecer contradictorio. ¿Cómo es posible que tengamos tan poca resistencia con tantos resistores conectados? La respuesta puede explicarse de forma sencilla de manera empírica (y de forma un poco más laboriosa de manera teórica). Es importante recordar que la resistencia eléctrica es la propiedad de un cuerpo (resistor) de impedir el paso de la corriente eléctrica. Sin embargo, entre más resistores se hallen conectados en paralelo, la corriente tendrá más caminos disponibles a elegir. Por esta razón, aunque la mayoría de la corriente atravesará al resistor de menor valor, no toda la corriente eléctrica lo atravesará. Teniendo esto presente, si mantenemos el mismo voltaje y le aplicamos la totalidad de la corriente a la resistencia total obtenida descubriremos que aquella resistencia debe ser menor a nuestro resistor de menor valor.

Otra propiedad importante de las conexiones en paralelo que nos puede economizar mucho tiempo y cálculos es saber que si los resistores en cada rama son de igual valor la resistencia total será el valor del resistor divido entre el número de ramas. Veamos un ejemplo. Digamos que tenemos diez ramas, cada una con un resistor de 100 Ohms.

$$R_t = (\frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + ... \frac{1}{100})^-1$$

$$R_t = (\frac{10}{100})^-1 = (\frac{1}{10})^-1 = 10 $$

A partir de este artículo incluiremos ejemplos de práctica para poner en contexto todos los conocimientos que hemos aprendido hasta ahora. El siguiente tema a desarrollar en cuanto a teoría serán las conexiones de resistores en estrella y delta.

Leyes de Kirchhoff

En este artículo estudiaremos dos leyes fundamentales para el estudio y análisis de todos los circuitos eléctricos. La comprensión de las leyes de Kirchhoff facilitará en gran medida cada problema de circuitos eléctricos que se nos puedan presentar.

Las leyes de Kirchhoff están compuestas por dos leyes: La ley de tensiones de Kirchhoff y la ley de corriente de Kirchhoff. Ambas leyes están fundamentadas tanto en la ley de la conservación de la energía (la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma) como en la ley de la conservación de la carga eléctrica (en un sistema aislado, la carga eléctrica neta y por ende también la corriente eléctrica se mantienen constantes).

Ley de tensiones de Kirchhoff (LTK): Establece que en un lazo (camino cerrado) la sumatoria de los voltajes de los elementos activos y la caída de voltaje de los elementos pasivos suman a cero. Esta ley se fundamenta a su vez en la ley de conservación de la energía. Desde una perspectiva práctica quiere decir que una batería o elemento activo no puede suministrar energía más alla de su máximo voltaje. Veamos algunos ejemplos:

                Figura 1

En este ejemplo tenemos una fuente de 100 V y solo tenemos un elemento pasivo dentro del camino cerrado, por lo que de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchoff podemos concluir que el resistor de 100 Ohms (cuyo símbolo es la letra griega Omega: Ω ) está siendo expuesto a 100 Volts. Utilizando la ley de Ohm podemos obtener la intensidad de corriente:

$$I=V/R$$  

$$ I=100/100$$ 

$$ I =1 A$$

En nuestro primer circuito podemos decir que la corriente eléctrica producida por una fuente de 100 Volts sobre un resistor de 100 Ω  será 1 Ampere. Veamos que sucede si agregamos más elementos pasivos:

                 

                     Figura 2

Como vemos, solo agregamos una resistencia adicional de 100 Ω. Debido a que ambas resistores son iguales y ambos deben sumar exactamente 100 Volts, de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchhoff, podemos concluir que cada resistor debe estar expuesto a 50 Volts solamente. Para el doble del valor de resistores solamente tendríamos la mitad del valor de la corriente inicial. Esta configuración de resistores (un resistor seguido por otros dentro de la misma rama) se conoce como conexión en serie, que estudiaremos más adelante. Entonces, entre más resistores incluyamos dentro de nuestro circuito eléctrico, menor será el trabajo al cual será expuesto cada resistor debido a que la corriente eléctrica disminuirá.

Ley de la corriente de Kirchhoff (LCK): Establece que la suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo nodo. Esta ley se fundamenta en la ley de la conservación de la carga eléctrica. Desde una perspectiva práctica significa que la corriente eléctrica total entrante no puede desaparecer en un nodo, sino que debe dividirse proporcionalmente. Veamos un ejemplo:

              Figura 3

En la figura 3 podemos ver un circuito con dos lazos, dos nodos y dos ramas. La corriente 1 se divide  en las corrientes 2 y 3 al llegar al nodo 1. Además notemos que las corrientes 2 y 3 al llegar al nodo 2 se unen nuevamente para formar la corriente 1. De acuerdo a la ley de corriente de Kirchhoff:

$$I_1= I_2 + I_3$$

Igualmente notemos que de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchhoff las caídas de voltaje en un lazo o camino cerrado deben ser igual a cero. Aplicando el mismo análisis que en la figura 1 podemos concluir que ambos resistores están siendo expuestos a 100 Volts. Esta configuración de resistores (resistores en ramas distintas que inician y finalizan en los mismos nodos) se conoce como conexión en paralelo, que estudiaremos más adelante. Inicialmente parece que logramos duplicar la energía proporcionada al circuito. Sin embargo, veamos que efecto tiene esta configuración sobre la corriente eléctrica. De acuerdo a la ley de Ohm:

$$I=V/R$$  

$$ I_2 = 100/100 = 1 A$$ 

$$ I_3 = 100/100  = 1 A$$

Si reemplazamos estos valores en nuestra fórmula para la ley de corrientes de Kirchhoff concluimos que:

$$ I_1 = I_2 + I_3 = 1 A + 1 A = 2 A $$

Entonces podemos observar finalmente que en nuestra conexión en paralelo a pesar de que logramos suministrar a todos nuestros elementos pasivos con 100 Volts al mismo tiempo (duplicando la energía suministrada) requerimos el doble de la corriente eléctrica, por lo que agotaremos nuestra batería en la mitad de su tiempo de vida.  

En el siguiente artículo estudiaremos las conexiones de resistores en serie y paralelo además de los diferentes efectos producidos por cada configuración.

Nodos, lazos, ramas y corto circuitos/ circuitos abiertos

Hay diferentes maneras de diseñar y analizar circuitos eléctricos por lo que es importante definir conceptos adicionales tales como nodos, lazos y ramas, que no son elementos dentro del circuito, sino mas son producto del arreglo físico de un circuito dado, además de los cortocircuitos cuya existencia también depende de la manera como conectemos los conductores.

Nodo: Un nodo es todo punto dentro del circuito en el cual se divide (o se une) el camino de la corriente debido a la colocación de más de una conexión o conductor en dicho punto de modo que la corriente eléctrica dispone de más de un camino disponible.

Rama: Se le conoce como ramas a conexiones o conductores diferentes que salen de un nodo determinado y finalmente conectan en el mismo nodo.

Lazo: En los circuitos eléctricos, se conoce como lazo al camino cerrado que forman dos o más ramas.

Corto circuito: Un concepto muy importante dentro de los circuitos eléctricos. Un corto circuito es una rama en donde no existe resistencia eléctrica, solamente la línea de conexión. La idea central detrás de los cortocircuitos es que la corriente eléctrica siempre tenderá a viajar por el camino de menor resistencia. Así mismo, es importante notar que cuando dos nodos están en cortocircuito, se asume que son un solo nodo. Entonces, con un camino de resistencia eléctrica nula, la totalidad de la corriente eléctrica viajaría por dicho cortocircuito. Cuando un resistor se halla en paralelo con un cortocircuito podemos eliminar al resistor de nuestro análisis.

Circuito abierto: Un circuito abierto es lo contrario a un cortocircuito. Se define como una rama en donde el paso de la corriente es imposible, lo cual también se podría generalizar como una resistencia eléctrica infinita. Un circuito abierto puede suceder teóricamente por una resistor con infinita resistencia. En términos prácticos, sucede porque una rama no conecta a un segundo nodo (o punto de voltaje) de modo que no existe una diferencia de potencial entre un punto A y un punto B (porque la rama no está conectada al punto B). Es importante tener en cuenta que la corriente eléctrica necesita tener un punto de inicio y un punto final para que pueda ser transmitida. Cuando un resistor se encuentra en circuito abierto decimos que por el resistor no fluye corriente eléctrica y por tanto puede ser eliminado de nuestro análisis.

Para poner en estudio todos estas ideas, veamos un circuito eléctrico de ejemplo:

Figura 1

Primero identifiquemos los nodos. De acuerdo a la definición, un nodo es un punto en donde hay más de una conexión. Basado en esto podemos identificar cuatro nodos.

Ahora identifiquemos las ramas. Preliminarmente podemos hallar cuatro ramas: Del nodo 1 hacia A (tiene dos caminos distintos para llegar hacia el punto A, por lo que tendríamos dos ramas en el nodo 1) y del nodo 2 hacia B (nuevamente tiene dos caminos distintos). Es importante notar que una rama a su vez puede tener más ramas incluidas dentro de ella.

Prosigamos hacia identificar los lazos. Iniciando, con este ejemplo se pueden definir cuatro lazos distintos o cuatro caminos cerrados. Como podemos ver en la figura, con propósitos ilustrativos (no constituye ningún tipo de elemento de circuito), se dibujó un círculo para visualizar el camino cerrado que forman los nodos 2,3 y los puntos B y C. Es muy importante también señalar de que no influye si tenemos ramas dentro de nuestro camino cerrado por lo que podríamos decir que el camino formado por la fuente de voltaje, los nodos 1,2 y 3, R3 y los puntos C,B y A finalizando en la fuente de voltaje también son un lazo. Finalizando, en este circuito tenemos una multitud de lazos dependiendo de como el lector decida dibujar el camino cerrado (yo cuento al menos ocho caminos cerrados).

Entonces dentro del ejemplo identificamos cuatro nodos, cuatro ramas y al menos ocho lazos. Parece ser bastante complicado pero debemos identificar que en este circuito existen tanto cortocircuitos como circuitos abiertos. Como veremos más adelante, identificar estas condiciones al inicio del análisis de un circuito puede ayudar en gran medida a simplificar nuestro problema inicial, facilitando la respuesta que se nos está solicitando.

Primero, observemos que R5 no conecta en ningún nodo final, por lo que corriente no puede viajar a través de él (podría compararse con viajar a través de una puerta cerrada, imposible) y debido a esto podemos eliminar a R5 de nuestro circuito eléctrico. Segundo, notemos a los puntos A,B y C solo los unen cables conductores por lo que A,B y C son considerados como un solo nodo. Además notemos que el nodo 3 está en cortocircuito con el punto en el cual se divide R3 y el cable conductor junto a él y el nodo 3 a su vez está en corto circuito con el nodo 2, por lo que los tres puntos realmente son un solo nodo. A continuación, extenderemos el cable conductor para que haga contacto directo con el nodo 3 y el punto C. Esto no cambia ningún valor dentro del circuito debido a que el cable conductor ya estaba en corto circuito con el nodo 3 y el punto C. Es importante señalar que en todo circuito eléctrico podemos extender, acortar o re ordenar todas las ramas o conductores siempre y cuando sigan teniendo los mismos nodos inicial y finales. Veamos como queda el circuito eléctrico:

Figura 2

El circuito empieza a lucir simplificado debido a los elementos que pudimos eliminar debido a los cortocircuitos y circuitos abiertos. Lo único que queda por determinar es la trayectoria que tomará la corriente eléctrica. En el nodo 1, por definición, se dividirá la corriente total que es producida por la fuente de voltaje, lo cual significa que cierta corriente viajará a través de R4 y llegará al nodo 2 (que también es el nodo 3 debido al cortocircuito presente) y en el nodo 2 hay tres caminos distintos que podría tomar la corriente eléctrica. Sin embargo es crucial recordar que la corriente eléctrica siempre viajará por el camino de menor resistencia, lo cual significa que si hay un camino sin ninguna resistencia eléctrica (cortocircuito) la totalidad de la corriente viajaría a través de él. En este caso, toda la corriente que viaja a través de R4 seguiría viajando por el cortocircuito para finalizar en el punto C. Debido a que R2 y R3 no están sujetos al paso de ninguna corriente, son elementos innecesarios o redundantes dentro de nuestro circuito eléctrico, por lo que es necesario removerlos. Al remover R2 y R3, solamente quedaría un camino posible de la corriente por lo que ya no existiría un nodo 2 y 3. Finalmente, el análisis de nuestro circuito finalizaría como la siguiente imagen:  

Figura 3

La figura 3 sería la forma simplificada del circuito eléctrico que teníamos originalmente. Vimos que aplicando conocimientos acerca de circuitos abiertos y cortocircuitos pudimos reducir la figura 1 a tener solo dos nodos, tres lazos y dos ramas lo cual a su vez podría ayudarnos mucho en una situación donde requerimos ahorrar tiempo para cálculos adicionales. En el siguiente artículo aprenderemos como podemos simplificarlo incluso más, al aprender acerca de las conexiones serie/paralelo.

Introducción a los circuitos eléctricos: Ley de Ohm

Como una introducción al mundo de los circuitos eléctricos es necesario explicar los conceptos fundamentales que conforman al más sencillo de los circuitos eléctricos: Diferencial de voltaje, intensidad de corriente, resistores y las conexiones o conductores. Todos estos elementos se pueden relacionar mediante la Ley de Ohm.

Figura 1

Elementos activos y pasivos: Primeramente, dentro de todo circuito eléctrico existen elementos pasivos y activos. Un elemento activo es algún elemento que aporta energía al circuito eléctrico (baterías) mientras que los elementos pasivos son elementos sobre los cuales se está realizando un trabajo o que consumen energía (resistores).

Diferencial de voltaje: Comúnmente referido solo como "voltaje" con la abreviatura "V" en unidades de "Volts". Es la diferencia de potencial eléctrico entre un punto A y un punto B. Son elementos activos de los circuitos eléctricos, ya que aportan energía al sistema. En el punto inicial de una fuente de voltaje (una batería por ejemplo) se coloca un signo positivo para diferenciar al punto con mayor potencial eléctrico (el punto inicial de una corriente eléctrica). No significa que el punto inicial tenga 100V, sino que la diferencia de voltaje entre el punto A y punto B es de 100 V. El voltaje puede también ser negativo, lo cual indicaría que en el punto B hay mayor potencial que en A (en este caso la corriente viajaría de B hacia A). En un diagrama o circuito eléctrico el voltaje generalmente se representa mediante un círculo con un signo positivo y negativo dentro de él, indicando cual es punto A de la fuente de voltaje.

Caída de voltaje o Tensión: La tensión o caída de voltaje dentro de un circuito eléctrico es sencillamente el trabajo al cual es expuesto un elemento dentro del circuito debido al paso de la corriente. 

Es muy importante hacer énfasis en la diferencia entre los conceptos de "Diferencial de voltaje" y "Voltaje" propiamente. Cuando nosotros conectamos un elemento (ejemplo, un foco o bombillo) a una batería (fuente de voltaje o diferencial de voltaje), nosotros esperamos que la fuente de voltaje realice un trabajo sobre el elemento (ejemplo, encender el bombillo). Cuando el elemento está expuesto a dicho trabajo decimos que este tiene un "voltaje" o que tiene "un trabajo que está siendo aplicado sobre él".

En resumidas cuentas : el diferencial de voltaje es la condición que impulsa a la corriente eléctrica a desplazarse de un punto A hacia un punto B ; el voltaje o tensión es el trabajo que es aplicado sobre un elemento debido al paso de la corriente. Otra perspectiva válida para diferenciar estos conceptos es que una fuente de voltaje o diferencial aporta energía al circuito mientras que las caídas de voltajes representan energía que está siendo consumida por un elemento pasivo del circuito.

Intensidad de corriente: Referida también como "corriente eléctrica" con la abreviatura "I" en unidades de "Amperes". La corriente eléctrica se define como "la cantidad de Coulombs que atraviesan una sección del conductor durante una unidad infinitesimal de tiempo" o definido de manera más sencilla como "la velocidad del flujo de electrones". La corriente eléctrica se genera por la diferencia de potencial que es creada por un elemento activo (como una fuente de voltaje). Cuando la corriente eléctrica atraviesa un elemento se coloca un signo positivo en el lugar donde llega la corriente y un signo negativo donde sale de aquel elemento. La corriente puede ser constante o variable, positiva o negativa. Una corriente constante en todo momento se le conoce como "Corriente directa" y una corriente variable se le conoce como "Corriente alterna". Finalmente, una corriente eléctrica negativa significa sencillamente que los electrones están viajando en el sentido contrario para el cual asignamos un dirección inicial. En un circuito eléctrico la corriente eléctrica se visualiza como flechas indicando la dirección que lleva la corriente.

Resistor o resistencia:  Un resistor es un elemento pasivo de un circuito eléctrico, generalmente fabricado con materiales aislantes como cerámica o madera. Tiene una abreviatura "R" en unidades de "Ohms". Un resistor dificulta el paso de la corriente a través de él. Se encuentra unido a la conexión (por el cual fluye una corriente eléctrica) que une al punto A con el punto B de voltaje. 

Nota: Debido al paso de los electrones a través del conductor surge una fricción (fuerza resistiva) entre las paredes del conductor y la intensidad de la corriente, por lo cual se dice que el conductor mismo también es una resistencia al paso de la corriente. Sin embargo, generalmente se ignora dicho efecto en el análisis de circuitos.

Conexiones o conductores: Son sencillamente las conexiones físicas que unen a todos los elementos del circuito con los dos puntos de diferencia de voltaje.

Todos estos conceptos pueden parecer abstractos para el estudiante que inicia sus estudios en el mundo de la electricidad. A continuación, aunque no sea una comparación válida para la totalidad de los conceptos y los casos, es un consejo común que los elementos básicos de un circuito eléctrico sean comparados con el flujo del agua a través de una tubería, con el propósito de hacer las comparaciones necesarias para un mejor entendimiento de los circuitos eléctricos a través de dicho contraste:

• La diferencia de voltaje puede compararse con la presión ejercida dentro de la tubería. El agua (electrones) fluye de un extremo a otro solamente porque el agua busca estar en el punto de menor presión.
• La corriente eléctrica puede compararse con la velocidad del agua dentro de la tubería. A mayor presión, mayor será la velocidad que tendrá el agua.
• La resistencia puede ser comparada con la forma de la tubería, puede ser un diámetro pequeño de la tubería, algún obstáculo dentro de la tubería, la forma en que la tubería está colocada. Puede incluso ser la temperatura dentro de dicha tubería (en algunos casos). En fin, cualquier obstáculo o condición que dificulte el paso del agua.

Entonces, la corriente eléctrica aumenta conforme el voltaje aumenta (directamente proporcional) y disminuye mientras la resistencia aumenta (inversamente proporcional). Del mismo modo, un voltaje determinado generará una mayor intensidad de corriente cuanto menor sea el valor de la resistencia entre los puntos A y B. Basados en estos conceptos se establece la Ley de Ohm, la cual a resumidas cuentas es dada por:

V = IR 

Donde V es el voltaje, I es la intensidad de corriente y R es la resistencia eléctrica.

Bienvenidos a Alien Circuits

El propósito de este blog es exponer y practicar todos los conceptos relacionados con los circuitos eléctricos, magnéticos y electrónicos. La teoría será debidamente presentada al lector de modo que tenga una referencia sólida para los ejercicios que se desarrollarán y dichos ejercicios tendrán una explicación y aplicación apropiada para el tema desarrollado. Secundariamente se expondrán temas relacionados con la electricidad y magnetismo como la Ley de Gauss, Ley de Coulomb, Ley de Faraday además de material acerca de campos electromagnéticos.

El autor de www.aliencircuits.blogspot.com es Patrick Aizpurúa, estudiante de sexto semestre en Ingeniería Electromecánica.