Conexiones de resistores en serie y paralelo

En este artículo estudiaremos las propiedades de las conexiones de resistores en serie y en paralelo. Habiendo estudiado las leyes de Kirchhoff (LTK y LCK) también determinaremos como sumar resistores para simplificar aún mas el análisis de un circuito eléctrico. Primeramente es importante definir cada configuración y sus propiedades.

Conexión en serie: Dos o más resistores se encuentran en serie cuando están conectados dentro de la misma rama, uno tras otro. Debido a que la corriente eléctrica solo tiene un posible camino a través de la rama, la misma corriente eléctrica viaja a través de cada resistor dentro de la rama.

Conexión en paralelo: Dos o más resistores se encuentran en paralelo cuando se hallan en ramas distintas y todas estas ramas conectan a los mismos nodos. Debido a que las distintas ramas forman caminos cerrados una con otra y basados en la ley de tensiones de Kirchhoff, los resistores en cada rama individual estarán expuestos al mismo voltaje que las demás ramas. 

Para demostrar las propiedades anteriormente mencionadas es necesario, en primer lugar, demostrar y realizar el proceso de suma de resistores en serie y en paralelo.

Figura 1

Como podemos ver en la figura 1, tenemos una cantidad "n" (indeterminada) de resistores dentro de la misma rama, lo cual sería una conexión en serie. De acuerdo la ley de tensiones de Kirchhoff, la suma de las tensiones sobre cada resistor debe igualar al voltaje V suministrado por la fuente de voltaje. Utilizando la ley de Ohm tenemos que:

$$ V = IR $$

$$ V = R_1 I + R_2 I + R_3 I + ... R_n I $$

Sin embargo también recordemos que la corriente I que atraviesa cada resistor es la misma en cada caso. Factorizando y dividiendo ambos términos por la corriente I tenemos:

$$ \frac{V_t}{I_t}= R_1 + R_2 + R_3 + ... R_n = R_t $$

De modo que podemos concluir que la resistencia total causada por dos o más resistores en serie es la suma algebraica de todos los resistores. Es importante recordar que si un resistor (o la suma de todos los resistores) es infinita entonces tendríamos un circuito abierto.

Ahora veamos como obtener la resistencia total de un grupo de resistores en paralelo.

Figura 2

Para obtener la resistencia total para resistores conectados en paralelo es necesario utilizar la ley de corriente de Kirchhoff. Teniendo en cuenta que cada resistor debe estar expuesto al mismo voltaje debido a la ley de tensiones de Kirchhoff y de acuerdo a la LCK tenemos que:

$$ I_t = I_1 + I_2 + I_3 + ... I_n $$

$$\frac{V}{R_t} = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} + \frac{V}{R_3} + ... \frac{V}{R_n}$$

Si dividimos ambos miembros entre V e invirtiendo la fracción resultante tendríamos:

$$R_t = (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ... \frac{1}{R_n})^-1$$

De modo que se puede definir la resistencia total en paralelo como la suma fraccionaria inversa de todos los resistores. Cuando queremos expresar que dos resistores se hallan en paralelo se utiliza la  siguiente notación, que nos indica que el resistor R1 está en paralelo con R2:

$$ R_1 || R_2 $$

Es importante recordar que si tenemos los nodos del paralelo cortocircuitados no habría resistencia eléctrica.

Como podrán ver, a mayor número de resistores en paralelo, más laboriosa será la tarea de encontrar la resistencia total. Sin embargo, una propiedad importante de los resistores en paralelo es que, sin importar el caso, la resistencia total siempre será menor que la menor de las resistencias dentro de una rama. Por ejemplo, si en el ejemplo de la figura 2 hubiese en una rama una resistencia menor a 1 Ohm, podemos garantizar con total seguridad que la resistencia total será menor que 1 Ohm. Esto puede parecer contradictorio. ¿Cómo es posible que tengamos tan poca resistencia con tantos resistores conectados? La respuesta puede explicarse de forma sencilla de manera empírica (y de forma un poco más laboriosa de manera teórica). Es importante recordar que la resistencia eléctrica es la propiedad de un cuerpo (resistor) de impedir el paso de la corriente eléctrica. Sin embargo, entre más resistores se hallen conectados en paralelo, la corriente tendrá más caminos disponibles a elegir. Por esta razón, aunque la mayoría de la corriente atravesará al resistor de menor valor, no toda la corriente eléctrica lo atravesará. Teniendo esto presente, si mantenemos el mismo voltaje y le aplicamos la totalidad de la corriente a la resistencia total obtenida descubriremos que aquella resistencia debe ser menor a nuestro resistor de menor valor.

Otra propiedad importante de las conexiones en paralelo que nos puede economizar mucho tiempo y cálculos es saber que si los resistores en cada rama son de igual valor la resistencia total será el valor del resistor divido entre el número de ramas. Veamos un ejemplo. Digamos que tenemos diez ramas, cada una con un resistor de 100 Ohms.

$$R_t = (\frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + ... \frac{1}{100})^-1$$

$$R_t = (\frac{10}{100})^-1 = (\frac{1}{10})^-1 = 10 $$

A partir de este artículo incluiremos ejemplos de práctica para poner en contexto todos los conocimientos que hemos aprendido hasta ahora. El siguiente tema a desarrollar en cuanto a teoría serán las conexiones de resistores en estrella y delta.

Leyes de Kirchhoff

En este artículo estudiaremos dos leyes fundamentales para el estudio y análisis de todos los circuitos eléctricos. La comprensión de las leyes de Kirchhoff facilitará en gran medida cada problema de circuitos eléctricos que se nos puedan presentar.

Las leyes de Kirchhoff están compuestas por dos leyes: La ley de tensiones de Kirchhoff y la ley de corriente de Kirchhoff. Ambas leyes están fundamentadas tanto en la ley de la conservación de la energía (la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma) como en la ley de la conservación de la carga eléctrica (en un sistema aislado, la carga eléctrica neta y por ende también la corriente eléctrica se mantienen constantes).

Ley de tensiones de Kirchhoff (LTK): Establece que en un lazo (camino cerrado) la sumatoria de los voltajes de los elementos activos y la caída de voltaje de los elementos pasivos suman a cero. Esta ley se fundamenta a su vez en la ley de conservación de la energía. Desde una perspectiva práctica quiere decir que una batería o elemento activo no puede suministrar energía más alla de su máximo voltaje. Veamos algunos ejemplos:

                Figura 1

En este ejemplo tenemos una fuente de 100 V y solo tenemos un elemento pasivo dentro del camino cerrado, por lo que de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchoff podemos concluir que el resistor de 100 Ohms (cuyo símbolo es la letra griega Omega: Ω ) está siendo expuesto a 100 Volts. Utilizando la ley de Ohm podemos obtener la intensidad de corriente:

$$I=V/R$$  

$$ I=100/100$$ 

$$ I =1 A$$

En nuestro primer circuito podemos decir que la corriente eléctrica producida por una fuente de 100 Volts sobre un resistor de 100 Ω  será 1 Ampere. Veamos que sucede si agregamos más elementos pasivos:

                 

                     Figura 2

Como vemos, solo agregamos una resistencia adicional de 100 Ω. Debido a que ambas resistores son iguales y ambos deben sumar exactamente 100 Volts, de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchhoff, podemos concluir que cada resistor debe estar expuesto a 50 Volts solamente. Para el doble del valor de resistores solamente tendríamos la mitad del valor de la corriente inicial. Esta configuración de resistores (un resistor seguido por otros dentro de la misma rama) se conoce como conexión en serie, que estudiaremos más adelante. Entonces, entre más resistores incluyamos dentro de nuestro circuito eléctrico, menor será el trabajo al cual será expuesto cada resistor debido a que la corriente eléctrica disminuirá.

Ley de la corriente de Kirchhoff (LCK): Establece que la suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo nodo. Esta ley se fundamenta en la ley de la conservación de la carga eléctrica. Desde una perspectiva práctica significa que la corriente eléctrica total entrante no puede desaparecer en un nodo, sino que debe dividirse proporcionalmente. Veamos un ejemplo:

              Figura 3

En la figura 3 podemos ver un circuito con dos lazos, dos nodos y dos ramas. La corriente 1 se divide  en las corrientes 2 y 3 al llegar al nodo 1. Además notemos que las corrientes 2 y 3 al llegar al nodo 2 se unen nuevamente para formar la corriente 1. De acuerdo a la ley de corriente de Kirchhoff:

$$I_1= I_2 + I_3$$

Igualmente notemos que de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchhoff las caídas de voltaje en un lazo o camino cerrado deben ser igual a cero. Aplicando el mismo análisis que en la figura 1 podemos concluir que ambos resistores están siendo expuestos a 100 Volts. Esta configuración de resistores (resistores en ramas distintas que inician y finalizan en los mismos nodos) se conoce como conexión en paralelo, que estudiaremos más adelante. Inicialmente parece que logramos duplicar la energía proporcionada al circuito. Sin embargo, veamos que efecto tiene esta configuración sobre la corriente eléctrica. De acuerdo a la ley de Ohm:

$$I=V/R$$  

$$ I_2 = 100/100 = 1 A$$ 

$$ I_3 = 100/100  = 1 A$$

Si reemplazamos estos valores en nuestra fórmula para la ley de corrientes de Kirchhoff concluimos que:

$$ I_1 = I_2 + I_3 = 1 A + 1 A = 2 A $$

Entonces podemos observar finalmente que en nuestra conexión en paralelo a pesar de que logramos suministrar a todos nuestros elementos pasivos con 100 Volts al mismo tiempo (duplicando la energía suministrada) requerimos el doble de la corriente eléctrica, por lo que agotaremos nuestra batería en la mitad de su tiempo de vida.  

En el siguiente artículo estudiaremos las conexiones de resistores en serie y paralelo además de los diferentes efectos producidos por cada configuración.